2015年公安现役部队行测备考：剩余问题求解

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　　公安现役部队行测考试中，数学运算部分的解题时，很多考生首选整除思想，但是有些题目我们会发觉题目中的被除数不满足能被整除的条件，即有余数，这类题目称为剩余问题。对于这类题目我们在没有学习剩余定理之前往往只能采用枚举法或者是代入排除法来解决。在行测考试中时间对大家来说是最重要的，因此掌握此种题型的解题方法对大家在做题准确率以及做题速度上都有很大帮助。

　　剩余问题的常见形式为：一个数同时满足除以a余x，除以b余y,除以c余z,其中a、b、c两两互质，求满足这样条件的数是多少(有几个)。

　　一、剩余定理的特殊情况

　　(1)余同(余数相同)：除数的最小公倍数+余数

　　例题1：三位数的自然数P满足：除以4余2，除以5余2，除以6余2，则符合条件的自然数P有多少个?

　　A.120 B.122 C.121 D.123

　　【答案】B。

　　一个数除以4、5、6均余2，余数相同，属于余同，因此这个数满足通项公式N=60n+2 ，(n=0,1,2,3……)，当n=2时，N=122,选择B项。

　　(2)和同(除数和余数的和相同)：除数的最小公倍数+和(除数加余数的和)

　　例题2：三位数的自然数P满足：除以5余3，除以6余2，除以7余1，则符合条件的自然数P有多少个?

　　A.3 B.2 C.4 D.5

　　【答案】D。

　　此题除数与余数的和相加均为8，则该自然数应满足N=210n+8(n=0,1,2……)，因此在0至999以内满足题干条件的自然数有8，218，428，638，848五个数，因此选D。

　　(3)差同(除数减余数之差相同)：除数的最小公倍数-差(除数减余数的和)

　　例题3：某校三年级同学，每5人一排多1人，每6人一排多2人，每7人一排3多人，问这个年级至少有多少人?

　　A.206 B.202 C.237 D.302

　　【答案】A。

　　方法一：代入排除法(略)。

　　方法二：通过观察发现除数与余数的差均为4，所以此数满足：N=210n-4(n=1,2,3……)，当n=1时，算得次数为206，因此选A。

　　二、剩余定理的一般情况

　　例题4：一个自然数P同时满足除以3余1，除以4余3，除以7余4，求满足这样条件的三位数共有多少个?

　　A.10 B.11 C.12 D.13

　　【答案】B。

　　先取其中两个条件，除以3余1，除以4余3，即P=4n+3=3a+1，等式两边同时除以3，等式左边的余数为n,等式右边的余数为 1，即n=1,代入上式可知满足上述两个条件的最小的数为7，则同时满足上述两条件的数的通项公式为P=12n+7……①，再将①式所得的条件与题干中除以7余4的条件组合成新的条件。即满足题干中三个条件的数P=12n+7=7b+4，等式两边同时除以未知数较小的系数7，则左边余数为5n，等式右边的余数是4，也可认为余数是25，即5n=25，求解得n=5，代入到①式中，即同时满足题干中三个条件的最小的自然数P=67，则满足题干三个条件的数的通项公式为P=84n+67(n=0,1,2,3……)即100≦84n+67≦999可求得1≦n≦11，即符合题意的数共有11-1+1=11个数。

　　例题5：一个自然数P同时满足除以11余5，除以7余1，除以5余2，求满足这样条件的三位数共有多少个?

　　A.9 B.10 C.11 D.12

　　【答案】D。

　　通过观察会发现前两个条件属于差同，所以满足前两个条件的数的通项公式P=77n-6(n=0,1,2,3……)，即100≦77n-6≦999可求得2≦n≦13，即符合题意的数共有13-2+1=12个数，因此选D。

　　在剩余问题的解决过程中，遇到一些余数较为特殊的情况用剩余定理能够很好地解决;但是在和不同、差不同、余不同的情况下，可以用同余的性质来做，主要思路是先找满足题干中两个条件的通项公式，将三者条件转化成二者条件，然后再次利用同余特性加以解决即可。在学习的过程中不仅仅要学习方法，也要多观察题目，找到更简单的思路。

　　希望广大考生在掌握方法的基础上，多思考、多练习，一举成功!

（编辑：admin）

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